「Amazonランキングの謎を解く−確率的な順位付けが教える売上の構造」化学同人，2011年5月刊行 1,700円+税　服部哲弥

1. ページ初めの表題，訂正，目次（つまり，この行の付近）
   
   
2. 記録と雑記
   
   
3. 背景研究（初期編）の紹介
   別ページの詳細：
   1. Amazonランキングの時間変化 対 確率順位付け模型（概要）　
   2. 確率順位付け模型（基本形）の無限粒子極限（関数値独立確率変数列の大数の強法則）　
   3. 極限分布の従う微分積分方程式（蒸発だけで動く1次元流体）　
   4. 極限分布へのAmazonランキングへデータの統計的当てはめ　

4. 本書内容以降の研究の紹介 　(update 2019/11/07)

   本書以降は強度が位置依存性を持つ場合に極限が数学的にとても非自明になる， その数学的な内容に主眼があります．上記リンク内は，以下の学会発表・論説記事と 関連する内容です．最初の2つは本書の内容の紹介から説き起こしたもの， あとの2つは本書内容以降の研究の紹介にも重点を置いたものです：

   1. 「Amazonランキングと確率順位付け模型の流体力学極限」 2019年日本数学会秋季総合分科会企画特別講演アブストラクト (2019.9 金沢大学)
   2. 「Amazonランキングと確率順位付け模型の流体力学極限」 2019年日本数学会秋季総合分科会企画特別講演スライド (2019.9 金沢大学)
   3. 「Hydrodynamic limit of stochastic ranking process」 研究集会「大規模相互作用系の確率解析」講演スライド (2019.11 大阪大学)
      日本語講演と聞いて日本語のスライドを用意したのですが， 皆さんスライドは英語だったので現地で急遽英語版を用意しました： 「Hydrodynamic limit of stochastic ranking process (English version)」．研究集会参加者の背景知識や関心からは英語版のほう，証明の詳細に多少踏み込んでいるのは日本語版です．
      おまけ：阪急石橋阪大前と大阪大学大学院理学研究科（特にＥ棟＝数学専攻）の間の道順
      
   4. 「確率的順位付けの数理モデル」 数学，岩波書店 72-3 (2020)264-284.

【ネット注文用リンク】
7&Y 　　 紀伊國屋 　　 Amazon 　　 bk1 　　 楽天ブックス 　　 e-hon 　　 boople 　　 本やタウン 　　

丸善＆ジュンク堂

• excite review (米光一成)　『 最終章で著者は、こう書く。“短期的な利益追求の名の下に、ビッグヒット以外のあまたある作品を切り捨てて、頂点までの道のりが短くなるほど思想は弱くなり、ビッグヒットに選ばれた物語は厚みが減って、…”。Amazonのランキング算出方法だけでなく、物事の考え方、推論の仕方の本でもある。』
• Masahiro Kaminaga's Weblog 　『 服部先生が以前書かれた本、『ランダムウォークとくりこみ群』も、マニアやなぁ……と思いつつ読みましたが、今回はマニア度が10倍くらいアップしています。いや、脱帽するしかありません。 』
• 失われたパンを求めて (A la recherche du pain perdu) (はたこ) 　『 勝手に、おもしろい先生なのかも・・・と想像していたのだが、文章を読んだ感じからますます「おもしろい疑惑」が高まった（笑）。 』

• 　『あまりのすごさに感動が止まらない （でも数学は難しすぎて理解できてない）。今年の年間ベストはこの本になりそうな予感 』
• 　『amazonランキングがどういうアルゴリズムかを予測し、 ロングテール仮説の真偽を検証するだけでなく、離散的確率的な商品ランキングから流体力学的なモデルを抽出し、ネット時代に有力な武器になりそうな数学的法則を見出した（のを縦書きで解説した）、くらいの衝撃 』
• 　『著者の元ネタのサイト http://bit.ly/j9gpW5 を知ってたのでその数学的な解説が読めるかしらくらいの気持ちで読み始めたけど、こんな射程の長い本だったとはびっくりでした 』

2011年6月下旬には， 独自の視点でじっくり読んでくださった方々のメッセージも見え始めました． 特に「プロ」の方々がご購入を検討される場合のご参考に．

• @kshara2009 さんの ブログ：　『わかるとわからなくなる: 　…　Amazon ランキングの謎を解く」（服部哲弥著/化学同人） を読み込むのが今日の仕事。　…　思っていた以上に高度な本だ。　…　血肉となっている概念には、ランダムとは何か、ということに関するある種の「サトリ」が、 解析学の深い知識と組み合わさったものが　…　』
• @rosymatilda さんの ブログ：　『数理モデルってすごい、：　…　私の理解：ちゃんとした数理モデルをつくるためには、かなりちゃんと数学ができないとダメ。　…　』
• @shig_ono さんの ブログ：『　…　これはなかなかの奇書だなあ... と，ところどころでケタケタ笑いながら読み進めていたのだが，途中ではた，と気がついた。著者の先生は大真面目なのだ。だってこれ，自然科学の方法論としては当然のことだ。この大自然をどうやってつくったんですか，と神様に聞くわけにもいかないし。　…　』

マーケティングのご専門のかたからも，ご自身の研究に関連させて 紹介していただきました．たいへんありがたいことです．

• Mizuno on Marketing　『 アマゾンでは「ロングテールビジネスは成立していない」ことが数理モデルによって証明されたと聞くと，このテーマを研究課題の１つにしているぼくとしては心穏やかではない。　… 』

ツイッター経由で見つけ損なっていた早期のブログを2011年6月下旬に見つけたので， ２点追加します．

• horaya@舞狂小鬼 さんの ブログ：　『…　数学が苦手な人や表題にある「Amazonランキングの謎」にしか興味がない人は、上記の3つの章を飛ばしても差し支えないような構成にしてある（＊）。なんて優しい著者なんだろう。　…』
• @SatoshiAndo さんの 安藤怜のロンドン灯2ndGIG：　『…　また、2ちゃんねるを観察の対象に加えてあったり、考察の参考となるブログなども随所に紹介してあったりして、久しぶりにネットとの良いコラボレーションが実践されている書物を読んだような気がしました。』

【本書の紹介】　 確率的な順位付けの，もっとも簡単な数理モデルについて ２００６年末頃から続けている研究を，縦書きの本にしました． 本にしてくださった化学同人さんは， ビジネス上の判断を支援するビジネス書として売り込んでくださる様子ですが， 著者は，地味な数学の一つの成果を 小説または随筆風に読んでいただくことを期待して書きました．

以上を堅苦しく言い換えると， 先頭に跳ぶ規則の流体力学的極限についての縦書きの本と， ロングテールビジネスの採算性判断を公開情報から求めるビジネス支援書との， 緊張関係が本書の成り立ちです．

数学が現実について教えてくれる，ということと，しかし限られた情報から 数学の助けを借りて答えを知るのだから数学部分はやさしい話とはいかない， ということの調和に著者は苦労しました． （読みやすさの調和だけでない独特の苦労がありますが，それは伏せます．） 編集の津留貴彰さんも苦労されたものと思います． DOJIN選書のシリーズの中に収まることを祈ってます．

背景となる研究については， 数学（確率論）から統計学（データへの当てはめ）を経て現実社会まで， （隠れテーマとして，順位とは何かという哲学的なことまで，） 細い線を一本引いたつもりです．数学に近い側はすっきりした舗装道路に 近づいていますが，先のほうは点線になっています． ただ，線はまっすぐ引けた，と思います． それぞれの分野を志す方々が深いことを見つけてくだされば，とひそかに願います．

あと，このウェブページの下記の記事では紹介し損ねましたが， 某巨大掲示板のまじめな分析も直接関わっていて， 本書で紹介しています．

【出版社が用意してくださった概要：あちこちでお目にかかる文面と思いますが， 著者は一切関与していませんので，力点の置き方が全く違います． その緊張関係をお楽しみください！】 　インターネット時代における、ロングテール・ビジネスモデルの先駆けとされる Amazon。本書では、そこに公開されている書籍ランキングの順位変動の動きに注目。 古くから知られていた「先頭に跳ぶ規則」を、時々刻々変化する巨大な数値変動に あてはめて追いかけると何が見えてくるか。確率論などの数学を駆使した分析に よって、ロングテールからの売上への貢献度合いや、昼夜における人びとの ネット活動の様子を大胆に予測し、限られたデータだけから現実の社会現象を 鮮やかに照らし出す。

主要な結論をデータ解析とシミュレーションで検証されたかたから，ツイッターで 「@tetshattori Amazonランキング本に書いてある通りやってみたブログ記事が人気に。」との連絡をいただきました． ブログ記事はこちら です．ご本人の著書 （内容の関係上，こちらのページにて引用します） のAmazonランキングの変化を1ヶ月追いかけて拙著に紹介した時間変化の公式に 当てはめ，もう一つ，シミュレーションも公開しています．

これまでも含めて，いろいろな方々に内容を理解していただいて 先に進んで下さってることを知ると，本を書いて良かったと思います．

Amazonランキングの実際のアルゴリズムに興味の中心があるかたは 「Amazonランキングの謎を解く」や このページのずっと下のほう背景研究の紹介 （つまり，本来のこのページの出自）の説明に驚く（有り体に言うと， 『その説明，おかしいだろ』と思う）ことを知りました．

実際のアルゴリズムはもちろん興味もあるしこの研究にとっても意味がありますが， 私の本書や下記の説明は，ぶっちゃけ，『Amazonさんが，本書やこの説明を 読んで，意地悪をしてわざと外すようにアルゴリズムを変えたとしても どうしても成り立ってしまう，数学的事実は何か』に興味があり， 現在のAmazonアルゴリズムが何であるか，については，意識的に見ないように しています．

そういう立場（強調点）の違いと，それにもかかわらず共通する認識をツイッター上 で議論して下さるかた(@FoD5さん)が います．まとめ(togetter)はこちら． @FoD5さん，ならびに，あいだを取り持って下さった @j8takagi さん， どうもありがとうございました！

もちろん，同じ一つの現象を見ているので， アルゴリズムを推測する立場と本やここでの説明と 共通する結論は多数です． というよりも，その共通基礎が全ての出発点です． 上記まとめを ご覧頂いて，その辺りの，『いろんな視点で理屈を考えることのおもしろさ』も 見て頂ければさいわいです．

週刊東洋経済12月1日号に 「Amazonランキングの謎を解く」を紹介していただきました！

週刊東洋経済12月1日号は，通販サイトAmazon.co.jpの特集号で， 特集の最後のほう，せどり（中古本業者）の記事の直前に， ランキングの仕組みについての短めの記事があります．

週間東洋経済副編集長の大野和幸さんが， 多忙なお仕事の間を縫って，取材においでにくださいました． たいへんありがたいことです！

ジュンク堂新宿店は「Amazonランキングの謎を解く」刊行時に大々的に展開して くださったことをこのページの下のほう（2011年6月）に 紹介しましたが，そのジュンク堂新宿店が，2012年3月末をもって閉店するそうです．

「統計と確率の基礎」（学術図書） 最後まで置いて下さいました！	「ランダムウォークとくりこみ群」（共立出版） 最後まで置いて下さいました！
「Amazonランキングの謎を解く」は売り切れていました！
人文書担当は閉店を祭りにすべく思いを表現
社会科学書担当も閉店を祭りにすべく思いを表現
児童書担当は閉店を期に著者への気持ちを表現
自然科学書担当は常にその時売ってる本が本当に売りたかった本

数学セミナー 2012年3月号に解説記事「確率的順位付け」を 掲載させていただきました．

自分たちでテストして評価することがコンセプトの商品情報誌 MONOQLO 2011年11月号（9月19日発行，コンビニ・書店にて発売）に 「Amazonランキングの謎を解く」を紹介していただきました！

11月号は，通販サイトAmazon.co.jpの入門ガイドの特集号で， その中に，見開き２ページで「続アマゾンランキング仕組み検証」 という記事があります． １年半前のNONOQLOで一度アマゾンランキングに挑戦したそうですが， 根強い興味があるらしく，さらに詳しい検証を行った記事です．

2011年5月刊行の拙著「Amazonランキングの謎を解く」の関わりは， 同書の内容に基づいて前回のMONOQLOの結論を補足した上で 今回のMONOQLO 11月号の出発点とする，という関係にあります． 出版社（晋遊舎） 編集部の澤原昇さんが， 多忙なお仕事の間を縫ってお盆開け早々に，取材にみえました．

私の研究は，『見通しの良い数学的原理と数学的議論の展開』の視点に重点があって， 実用上は，ランキングで １０万位単位という，ロングテール側（よく言えば，大多数を占める普通の本， 実も蓋も無く言い換えれば，売れない本）のランキングの謎を解きました． これに対して澤原さんは，もう少し上位， ２千位前後のランキングがどのように実現するかを， 実際にMONOQLOのバックナンバーを購入する実験によって検討しています．

１０万位以降は私の研究で単純な数学的原理が有効なこととその理由を示しました． 他方， いわゆるベスト１０はAmazonに見に行かなくても世間の評判でわかります． 中間の数百位から数万位の間がAmazonランキングの中ではいちばん興味深い わけですが，変化の要因が複雑な順位領域でもあります． そこに切り込んだ研究というわけです． （１時間に１冊売れないと実現しない２千位前後の様子は スポンサーのいないサラリーマン研究者には実験しづらいものです． 公的な研究費は使途のチェックがうるさくて， 同じ本を何冊も買うのは騒ぎを起こす…．）

ご自身で企画・立案された実験と思いますが，興味深い結論を得ています． さすが，MONOQLO編集の職を自ら選んだ気鋭の編集者です． 実験結果は販売開始した MONOQLO 11月号をどうぞ！ （ちなみに，澤原さんは ツイッターのアイコンの印象よりもさらにお若い，意欲あふれる青年です．）

三田評論 No.1148（2011年8・9月合併号）の「執筆ノート」に 「Amazonランキングの謎を解く」の紹介を載せていただきました． この号が購読者に届いたと思われる 7月末から8月初めの週末，Amazon書店で前後の期間に比べて ２倍の（時間あたりの）注文がありました． この時期「三田評論」以外にこれだけ顕著な注文増の原因が見あたらないので， 「三田評論」の効果かと憶測しています．さすが慶應義塾． （ただし，効果がとても限定的なので，著者としては少し残念．）

「執筆ノート」の執筆には池田年穂先生にたいへんお世話になりました． 移民文学などのご研究で，その方面の多数の洋書を翻訳しておられます． 私と全く違う分野（！）の研究者なので，興味深いお話をいろいろ聞かせて いただいています． 三田評論は１頁の短い文なので，池田先生への謝辞を入れる余裕がありませんでした． ここに謝意を表しておきたいと思います．

• 研究留学ネット管理人のブログ：『大部分の本は、年に5冊くらいが売れるロングテール本だと言われています。そうすると、Amazonが扱う300万点もの書籍すべてに、それぞれ一意のランキングを付けるには、どういう計算方法を用いているのか？』
  …
  『そんなことを考えていたとき、いつも行く日本橋の丸善に、「Amazonランキングの謎を解く: 確率的な順位付けが教える売上の構造」が平積みされていました。タイトルを見ると、ビジネス書みたいな感じがしたのですが、パラパラと見ると、本格的な確率論の本。さっそく、購入して（私がリアル書店で本を買うのはよほどのことです）、あまりに面白く、あっという間に、読んでしまったので、みなさんにおすすめしたいと思います。』
  …
  『一瞬15冊入荷されましたが、その後、再び、在庫切れ　…　目がいってしまうのが、Amazonランキング。入荷があったときには、3桁台まで上昇しましたが、その後、在庫切れになったら、1万-3万台あたりをふらふら。』

数理モデルともアマゾン書店とも関係ない「社会的事情」によるもので， この期間のランキングは残念ながら実際の売上を反映しません． （研究成果を「Amazonランキングの謎を解く」に著して以来， いろんな話を小耳に挟むようになり， おかげさまで好評（★著者本人比）の「Amazonランキングの謎を解く」 自体のランキングの動きと合わせることで， 本には書けないことも勉強するようになりました．） 在庫切れは，出版社や取次が対応次第，解消しますが， この順位帯のランキングが実売上を反映しないことは， ロングテールの利益が薄いことが遠因となる「難病」なので， 著者の方々には，アマゾン以外の書店にも潜在的読者を誘導していただいて， 透析のように息長く考えて売っていただくのが唯一の解決策と思います．

京都来ました （集中講義「確率的順位付け」於京都大学理学部）．

京都と言えば株式会社化学同人．　（注：祇園祭が終わった直後の週です．）

京都駅から大学への，行きがけのあわただしい中でしたが， 「Amazonランキングの謎を解く」を担当してくださった編集部の津留さんと， 東京の営業を担当されている吉原さんにお会いできました． （予告無く押しかけてお騒がせしました！）

ちなみに東京都文京区について，本郷と言えば 学術図書出版社， そして，茗荷谷と言えば 共立出版株式会社．

京都大学生協，数学書コーナーに「Amazonランキングの謎を解く」が14冊平積み！ さすが京都大学 m(_ _)m （集中講義では本に書かなかったこと・書けなかったこと を中心にお話ししましたので，「Amazonランキングの謎を解く」を合わせて お読みいただければなお興味が増すかと思います．宜しくごひいきのほどを．）

京都では大勢のかたの聴講，どうもありがとうございました． また，研究者の方々には毎日入れ替わり議論と雑談にお付き合いいただきました． たいへんな歓待．さすが京都，どうもありがとうございました m(_ _)m ．

6月上旬， 6月中旬に 書いたように，横浜駅周辺の大きめの書店も， 東京にやや遅れながらも大きく展開してくださっていて， その後毎週順調に売れている様子でしたが， １ヶ月以上を経て現在も順調にお買い求めいただいているようです．

有隣堂（駅ビルLumine6階，西口Diamond地下街）は順調に減らしていたので， そのままDojin選書シリーズの１冊体制に移行するのかな，と思っていたら， 7月半ばにLUMINE店にて平積みを復活してくださいました！ （7月下旬追記：集中講義で京都に行っていた間に平積み分が消えていました！ 売れたならすごいけど！？Dojin選書シリーズの棚にはしっかりあります．）

そごう7階紀伊國屋は入口真正面ベストセラー・話題書コーナーを含めて大々的に 置いてくださっていて，やはり順調に売れていましたが， さらに10冊ほど増やしてくださいました！ 両店とも夏休みを意識してくださってのことか，売れ行き好調と見てくださったか， ありがたいことです．着実にお買い求めいただいている模様．

他の店舗も引き続き置いてくださっています． そごうと横浜駅の間にある東口地下街にある丸善は， 文庫・漫画・ベストセラー中心の 書店になっていますが，なんと，入口から一番遠い所，経営書の棚にひっそり 置いてありました！ 駅から少し南西，ダイエーの上にあるあおい書店はDojin選書シリーズの1冊として 置いてくださっているので長くそのままかと思います． （以上2011年7月中旬） （7月下旬追記：丸善のひっそり置いてあった1冊が消えていました． 売れたならすごいけど！？）

@j8takagiさんが， アマゾンのランキングの時間変化を自動取得し自動グラフ化するプログラムを 作成・公開してくださいました：　

『Amazonランキングの謎を解く』、すごく面白いです。触発されて私もグラフを作ってみました。データはRuby+Amazon APIで自動取得、グラフはRで作成しています。

とのことで，グラフの例はこちら（「Amazonランキングの謎を解く」のグラフは上下逆で，下ほど「上位」なことにご注意！）．プログラムとその解説はこちら． （2011年6月下旬）

（2011年7月下旬追記：）グラフの上下を逆にできるようにしてくださいました！下のほうが好順位 になるのが私の本と同じ方向です． 上のほうが好順位なのが世間一般のグラフの書き方． 天地逆にするだけでずいぶん印象が変わるのが興味深いです．

• Mizuno on Marketing　『 アマゾンでは「ロングテールビジネスは成立していない」ことが数理モデルによって証明されたと聞くと，このテーマを研究課題の１つにしているぼくとしては心穏やかではない。　…　では，アマゾンは利他的な動機で，あるいは無知によりそのような儲からない事業をしているのだろうか？ぼくの答えはノーである。　…　本好きは品揃えで本屋を選ぶので，売れ筋だけ並べた本屋には行かない（だが，彼らも売れ筋をたくさん買う）。　…』

  心穏やかでないとしつつも，さすがに専門家，アンダーソンが宣伝するように単純に， 儲からないものをたくさん集めて儲かる，なんてことはないと，前もって推理して いたご様子．私の研究をマーケティングの観点から見れば， 関連分野に従事する現場の方々やこの分野の専門家がおそらく感づいていたことを， 公開情報だけで証明した，ということです．（情報のコンタミが問題になるご時世， 公開情報で証明する，というのはその後の研究や経営判断のたしかな土台になる， という意味で重要です．） 当然，では，なぜ，アマゾン書店は経営的に存在できるのか，と続くわけで， このブログの著者 @makmiz さんはまさにそういうご研究をされているとのこと． いろいろご教示いただければ，と思うことしきり．

神保町三省堂では５月下旬から６月上旬， 5階(自然)で売上２位だったそうですが， 東京八重洲ブックセンターも６月１２日の週，3階(自然)で 「Amazonランキングの謎を解く」の売上１５位となったようです （ 一覧表のpdf）． 早くから大展開してくださった店の一つなので，何とかこけなかったようで， 少しほっとしました． （2011年6月下旬）

このページの下のほうに（上記にも同じリンク） 同じ早々に読み終えてくださって，ネット上で書いてくださった初期の書評や感想を 紹介しましたが，独自の視点でじっくり読んでくださった方々のメッセージも 見え始めました．以下いずれも，読者向けの参考資料としてよりも，むしろ 著者としての今後の精進の方向の参考になる貴重なご意見・ご連絡として， ありがたくお受けします．

• 確率論のプロ@kshara2009 さんの ブログ：　『わかるとわからなくなる: 　…　Amazon ランキングの謎を解く」（服部哲弥著/化学同人） を読み込むのが今日の仕事。　…　思っていた以上に高度な本だ。　…　血肉となっている概念には、ランダムとは何か、ということに関するある種の「サトリ」が、 解析学の深い知識と組み合わさったものが　…　』
  
  プロの禅宗の僧侶どうしの必殺の禅問答の意味で厳しく斬りつけてきた内容 を一部含むので，拙著を読むための参考の書評・感想としては， 確率論のプロのかた以外にお薦めする内容ではありませんが， 私が縦書きにこの水準の内容を込めた学問上の意図はそういうことです． （学問上以外の意図もありますが，この記事は純粋に学問的視点から 書いてくださっています．）
  
  ところで，私が用いたモデルとその極限定理は， 二十世紀とはいえ既に数学的に確立した確率論の結果である流体力学極限の， 極限が非線形微分方程式に従う確率モデルとしてもっともやさしい例題 （オリジナルの流体力学極限よりもずっとやさしい例題）として位置づけました． プロの目で見れば，もっともやさしいモデルですら，サトリの対象と位置づけられる ところに現代数学と現実の社会の橋渡しの本当の苦悩があると思います． （最近，数学と社会の関係について，といった声を聞きますが， プロとしてちゃんと悟った上で，大死一番絶後に蘇っているのか…（略）．）
  
  
• @rosymatilda さんの ブログ：　『数理モデルってすごい、：　…　私の理解：ちゃんとした数理モデルをつくるためには、かなりちゃんと数学ができないとダメ。　…　』
  
  存じ上げない方ですが，読書の達人のかたとお見受けしました． ５月３１日付けで「Amazonランキングの謎を解く」が届いたとツイートされて以来， ６月８日，第一章から６月２２日，最後まで， 一章ずつ読み進めてくださって，たいへんありがたいことです． 著者としてもっとも光栄なことと思います． 筆力不十分な点は申し訳ありません．
  
  出版にかかわったこともあるとのことで， そのご経験の上で内容を受け入れていただけて，ほっとしています． ご専門と無関係ながら，データ調査のご経験からの疑問が背景にあることなど， 数学と現実の関わりの潜在的な広さがかいま見えました．
  
  存じ上げない方がここまで丹念に読んでくださった理由の一つをブログで知りました． ６月上旬に感想をくださった はたこさん と同様に， @kshara2009 さんのご紹介の筋の様子． あらためて @kshara2009 さんにも感謝する次第です．
  
  
• @shig_ono さんの ブログ：『　…　これはなかなかの奇書だなあ... と，ところどころでケタケタ笑いながら読み進めていたのだが，途中ではた，と気がついた。著者の先生は大真面目なのだ。だってこれ，自然科学の方法論としては当然のことだ。この大自然をどうやってつくったんですか，と神様に聞くわけにもいかないし。　…　』
  
  「プロじゃない」という立場にいながら， 「プロ」の本質を突く軽妙洒脱な読書記録を頂きました． 読書の達人の方々は一筋縄でいきません．

• horaya@舞狂小鬼 さんの ブログ：　『…　数学が苦手な人や表題にある「Amazonランキングの謎」にしか興味がない人は、上記の3つの章を飛ばしても差し支えないような構成にしてある（＊）。なんて優しい著者なんだろう。　…』
  
  
• @SatoshiAndo さんの 安藤怜のロンドン灯2ndGIG：　『…　また、2ちゃんねるを観察の対象に加えてあったり、考察の参考となるブログなども随所に紹介してあったりして、久しぶりにネットとの良いコラボレーションが実践されている書物を読んだような気がしました。』
  
  

（2011年7月の横浜に続く．）

配本即大々的に展開してくださった東京の各書店には 2週間ほど先行されましたが 横浜駅東口 そごう ７階 紀伊國屋 も，大好評 （★著者本人比）に対応して，展開を大きくしてくださいました．

横浜東口 そごう 7階 紀伊國屋 ↑　ついに横浜駅でも書店入口ベストセラーコーナーに登場！ →　数学棚 F07-10前に平積み開始！ ↓　科学一般棚 E07-03 Dojin選書シリーズ前には，6月上旬から平積み！ 右下　6月上旬の科学一般棚（再掲）

2011年06上旬に書いたように， 横浜駅の有隣堂Lumine駅ビル店，有隣堂Diamond地下街店とも，刊行後すぐ 置いてくれていましたが，毎週順調に売れている様子です（2011年6月中旬）．

@TOMOL_さんがツイッター上で6月16日頃の状況を教えてくださいました： 『二子玉川の紀伊國屋で購入できましたが、残り２冊程度だったので市中にも 少なくなってきているのかもしれません。たまたま科学同人の営業さんがいらして 話をしたのですが、ビジネスマンを中心によく売れているとのことでした。』 詳しい情報ありがとうございました！

この間も町なかの書店や， 実店舗書店系の，たとえば 丸善＆ジュンク堂 はネット上で注文できます． 出版社も需要の集中に応える増刷を急遽決めてくれました． 今後とも「Amazonランキングの謎を解く」をどうぞごひいきにお願いします． （2011年6月中旬）

（2011年6月下旬追記：） もちろん，大きい書店を中心に町なかの書店では 大々的に展開してくださっています． （下記横浜や 東京１，東京２など参照．）

実在の書店の展開を手厚くした結果なので， 出版社に頒布を委託している著者としてはつらいところですが， 出版社営業部の在庫管理判断に甘さがあった可能性は高いと思います．

応援してくださる方々にご迷惑をおかけして申し訳ありません． また，一部ツイートから，心配してくださっている方々がおいでと感じましたが， Amazon書店上での出鼻をくじくかのような長期品切れは 同書店が拙著を握りつぶしているのではないことは強調します．

（そうだったらもっとおもしろかったけど．）

各位にご迷惑をおかけしました． 増刷され次第，あらためてよろしくお願い申し上げます．

町なかではしっかり置いてくれています． @1738310 さんからは，リブロ池袋店， @higuchill さんからは，紀伊國屋流山おおたかの森店， @SASAKIMasatoHKD さんからは，函館市中央図書館と同千歳図書室， の情報をいただきました．

この機会に，ネットではなく町なかの書店もご覧いただいて， 地味で古いが手堅く伝統的な仕組みに 新しい可能性を見いだしていただければさいわいです． （以上，2011年6月下旬追記）

（2011年6月末追記：） 増刷できたそうです． ２週間ほど在庫切れになっていましたAmazon書店ですが，在庫が復活しました． 引き続きどうぞよろしくお願い申し上げます．

• excite review (米光一成)　『 最終章で著者は、こう書く。“短期的な利益追求の名の下に、ビッグヒット以外のあまたある作品を切り捨てて、頂点までの道のりが短くなるほど思想は弱くなり、ビッグヒットに選ばれた物語は厚みが減って、…”。Amazonのランキング算出方法だけでなく、物事の考え方、推論の仕方の本でもある。』
  
  
• Masahiro Kaminaga's Weblog 　『 服部先生が以前書かれた本、『ランダムウォークとくりこみ群』も、マニアやなぁ……と思いつつ読みましたが、今回はマニア度が10倍くらいアップしています。いや、脱帽するしかありません。 』
  
  
• 失われたパンを求めて (A la recherche du pain perdu) 　『 勝手に、おもしろい先生なのかも・・・と想像していたのだが、文章を読んだ感じからますます「おもしろい疑惑」が高まった（笑）。 』

• 　『あまりのすごさに感動が止まらない （でも数学は難しすぎて理解できてない）。今年の年間ベストはこの本になりそうな予感 』
  
  
• 　『amazonランキングがどういうアルゴリズムかを予測し、 ロングテール仮説の真偽を検証するだけでなく、離散的確率的な商品ランキングから流体力学的なモデルを抽出し、ネット時代に有力な武器になりそうな数学的法則を見出した（のを縦書きで解説した）、くらいの衝撃 』
  
  
• 　『著者の元ネタのサイト http://bit.ly/j9gpW5 を知ってたのでその数学的な解説が読めるかしらくらいの気持ちで読み始めたけど、こんな射程の長い本だったとはびっくりでした 』

7月19日-22日の京都大学での集中講義の間にある談話会の場所が こちらに 発表になっています． （2011年6月上旬）

（2011年6月中旬の横浜に続く．）

東京のスピードにはワンテンポ遅れていますが， 横浜駅の大きい書店も「Amazonランキングの謎を解く」を 置いてくれるようになりました． （2011年6月上旬）

↑　横浜駅駅ビルLumine 有隣堂 理学書棚C 平積み． 最初の１週間で１部売れた？ 右上　Lumine有隣堂は 理学書の中の科学・環境棚C-10-4 にDojin選書シリーズ． →　横浜東口 そごう 7階 紀伊國屋 科学一般棚E07-03 にDojin選書シリーズ． ↓　横浜西口 Diamond地下街 有隣堂 一番奥の 理学書区画の 科学一般 新書棚J-70-2 にDojin選書シリーズ．最初の１週間で２部売れた？ 右下　横浜西口 南西に少し歩いたところにダイエーがあり，その別館 6階 にあおい書店． 科学棚U110 にDojin選書シリーズ．その１冊としてひっそり．

下記のうち，ジュンク堂新宿店は建て替えに伴い（その後の再入居の交渉が 整わなかったらしく）2012年3月末に閉店します （このページの上のほう参照）．

	左上　新宿ジュンク堂は駅の北東徒歩数分，三越の上の階． 手前のTAKA-Qの看板のほうが見つけやすい． ↑　6階．数学の列に面出し ←おまけ：新宿ジュンク堂は，「 ランダムウォークとくりこみ群」（共立出版） と「統計と確率の基礎」（学術図書）を常備 さすがジュンク堂の懐の広さは桁違い
	←　6階，下りエスカレータ真正面の理工話題書コーナーに平積み！ 左下　話題書から折れ曲がって，エスカレータ脇の柱を見ると アーマーゾーンと壁にテープで． その前に強烈に平積み！ ５月のうちにツイッターで @yutakashinoさんが教えてくださったのをようやく確認 ↓　そして，その隣，エスカレータ横のフェア棚に面出し！ 近いうちに三越のビルは取り壊すと聞きました． 見納めに，ぜひ新宿ジュンク堂で アーマーゾーンを よろしくお願いします！
紀伊國屋はジュンク堂の向かい． 「Amazonランキングの謎を解く」の配置では， 紀伊國屋もジュンク堂に負けない	1階，入口から直進通路，レジ横の新刊書棚に2列で平積み！！
3階 社会，マーケティング 棚E13に面出し！	4階 自然，数学一般 棚F12に平積み （4階は階段脇の数学シリーズにDojin選書があるので， 将来的にはこちらに並ぶか？）
4階には，「統計と確率の基礎」が 統計・確率 棚E14に！	4階には，「ランダムウォークとくりこみ群」を含む， 共立出版「 新しい解析学の流れ」シリーズも 数学シリーズ 棚E12に！！
新宿西口へ移動．都庁方面への地下通路の起点にあるスバルビルの新宿の目	Book 1st は，地下通路右手に．駅から書店の一番遠い側の通路をB2階に降りて， G区画へ．
Book 1st レジ前 科学シリーズ棚G5 面出し	理学棚G18 2列平積み． 私は新宿に縁が少なくて初めてでしたが，よく知られた書店らしく，twitter上で @hyokoto さんと @Rahatchy さんから早々に連絡を頂きました． @hyokotoによると，取次から本が届いたばかりと思われる5月25日に， 早くも写真の状態で配置が済んでいたそうです． 副都心のスピード感が伝わります．ようやく確認．

• @YoshihisaYamadaさんによると， 丸善日本橋店 1階に『こっそり平積み』(5月27日)とのこと．
• @1738310さんによると， 書泉ブックタワー（秋葉原）に面出しとのこと（6月3日私信）． 共立出版の85周年フェアのお仕事のときに見つけてくださったそうです． 共立出版さんには 「ランダムウォークとくりこみ群」 のときにお世話になりました．当時編集を担当してくださった小山さんは 近代科学社社長になりました．大越さんは共立出版にご健在．

多くのかたにツイートやリツイートしていただいているということを，全く気づいて いませんでした．既に追い切れません．皆様どうもありがとうございます！！！ 刊行前から期待があったことを知らなかったので，なぜ書店で大々的に展開して くださっているのかわからず，見に行って，その壮観に，数行下では，ただ奇跡と 書いていました．しかし，刊行前から期待があったことはもっと奇跡です． （2011年5月下旬）

集中講義に伺います （京都大学理学部数学教室　２０１１年７月１９日−２２日）． 刊行が間に合いました．

提案してくださった京都大学の吉田伸生先生に深く感謝します． （昨年のことでしたが，既に内容の取捨選択の方針が固まっていて， 本書の中で触れることができませんでした．） （2011年5月上旬）

まだ表紙がないうちから，化学同人出版の営業部ほか， 関係各位が迅速に動いてくださったらしく， 先月末からネット書店は予約販売開始してくださっていました． （早々に掲載情報を教えてくださった響由布子さん，ありがとうございました！） （2011年5月上旬）

2011年5月　第２週に表紙完成， 第３週末頃に見本完成， 第４週末頃から店頭に並ぶ模様です． （2011年5月上旬）

オンライン ランキングとロングテール，そして無限粒子系　服部哲弥

アマゾンの謎順位　−　Amazon書店はロングテールに非ず

ロングテールという単語は， 聞くことがあっても意味をわかってないビジネス用語の代表格です． （gooリサーチ「実は意味を知らなかったビジネス用語」のアンケートで， 2007年10月 4位，2009年10月 5位．）

確率論は誤解されることの多い数学です． ブログや掲示板で確率を確立と書く人の多いこと（試験の答案も…）． テレビ朝日の人気ドラマ「相棒」のSeason 2第6話「殺してくれとアイツは言った」 の終わりに出てくる「DNA鑑定書」に「確立99.9%」と印刷されていました．根深い．

（2011年6月さらに根深い追記！） このページの初めで紹介した 「Amazonランキングの謎を解く」化学同人が刊行された2011年6月某日， ○茶○水の某大手書店Ｍ○の検索機で「Amazonランキングの謎を解く」を 検索したところ，なんと，棚の分野名が「確立・統計」．書店の検索機とは， 根深さも極まれり．

無限粒子系という確率モデルでロングテールビジネスの草分けとされる Amazon.co.jpを探ろうというこのページのお話は， 現代的なビジネスの注目話題に高度な数学で切り込むつもりだったのに， そういう次第で，少数民族の言語で地味な話をする，というほうが近そうです．

ロングテール (the long tail) とは， 「売れない商品もとてつもなく多種類集めれば総額は無視できない」 という考え方です．一般化して 「個々の小さな社会的効果も大勢の人が参加すれば大きな社会現象になる」 という心情を含む場合も多いと思いますが，ここでは狭い話に限ります． ビジネスモデルとしては， 「オンラインリテール（ネットの小売業）においてweb pageを『商品陳列棚』と して使うことによって，1商品当たりの品揃えのコストを激減させ， 利益の出る商品の種類を巨大にすることで， ロングテールをビジネスチャンスにする」 ということになります．

ロングテールビジネス型のオンラインリテールの草分けと紹介される ことで有名なインターネット書店Amazon.comの日本版 Amazon.co.jp の「ランキング」という数字の時間変化が話の始まりです． （注：2008年現在，webでランクというと，グーグルのページランクのことと 思いこむ研究者のほうが多いようですが，以下の話は グーグルのページランクとは数学的には無関係です． あくまで日本のアマゾンがランキングと呼ぶ本の順位の話です．）

ご注意：　「数学」という言葉で眠くなるかたへ

このページは，どちらかというと数式を扱う生業の方々（数学者とは限らない） を読者としてイメージしていましたが， ページを始めてから1年半，2009年11月に，Twitterにこのページ を引用してくださったかたがいることをGoogle検索で発見しました．

「数学」という言葉で元気になるかた，このまま続きをどうぞ！

2010年4月追記：研究が徐々にながらも進むにつれて， 内容や別ページが当初よりも若干増えました． 「忙しいのに読んでられね」と思われる向きには， 短くわかりやすくまとめて くださったかたのページをお薦めします． （バクフー株式会社の柏野雄太さん， どうもありがとうございました．）

2013年2月追記：Amazonランキングの実際のアルゴリズムに興味の中心があるかた の中に「Amazonランキングの謎を解く」や以下の説明に驚く（有り体に言うと， 『その説明，おかしいだろ』と思う）かたがおいでと知りました． 実際のアルゴリズムはもちろん興味もあるしこの研究にとっても重要ですが， 私の本書や以下の説明は，ぶっちゃけ（わざと極端に書けば）， 『Amazonさんが，本書やこの説明を 読んで，意地悪をしてわざと外すようにアルゴリズムを変えたとしても どうしても成り立ってしまう，数学的事実は何か』に興味があります． （正確には何らかの極限で数学的に成り立つ，という理想化を含むので， 現実には「どうしても，おおよそ，成り立ってしまうこと」に興味があります．） 同じ一つの現象を見ているので，もちろん， アルゴリズムを推測するという立場と共通する結論は多数です． 立場（強調点）の違いと，それにもかかわらず共通する認識をツイッター上 で議論して下さるかた(@FoD5さん)が います．まとめ(togetter)はこちら． @FoD5さん，それから，あいだを取り持って 下さった @j8takagiさん， どうもありがとうございました！

背景：　Amazon.co.jpの本のページと本のランキング

実際にAmazonのwebで本を検索すると，右図のようなページが現れます． （右図は，かなり中略しています．） 右図下のほうを見ると「Amazon.co.jpランキング：本で 384,057位」 とあります．この「ランキング」の何十万位という数字がここでの興味の対象です．

この数字，ヒット商品はともかく， 何十万位にもなるとほとんど誰もまじめに見なかったようで， これまで精密な研究が少なかったようです．

このページを最初に作ったときからさかのぼること１年半，2006年12月13日に 佐藤哲さんの管理する suuri-MLというメーリングリストで，MLの法律顧問どの 佐々木将人さん が，『……どういう計算方法なのかわからないAmazonの謎順位。』([suuri: 178]) と書いていたのが気になって精密な研究を始めました．

ランキングに戻って しばらく見ていると，まず，1時間ごとに数字が更新されること に気づきます． たとえば次のような変化です． この例では1時間に600-700ずつ順位が落ちて（ランキングの数値が増えて）います．

こうした専門書は1軒の書店では数週間から数ヶ月に1冊しか売れないので， この順位降下は，この本が売れていない時間帯のランキングの動きということに なります． この，「1時間に600-700ずつ降下」というランキングの時間変化の 計算を知りたい，というのが元の問題です．

会社が教えてくれればいいのですが， 商売上つきあいが深いはずの出版社に対してさえ売り上げ明細を 教えないそうです． あるUSAの計量経済学の学術論文は 「インターネット小売り業者は個別の売り上げデータを ちっとも提供してくれない」と書いています ． 無機的な数字を扱うお堅い学術論文にここまで書かれるとは よほどのことがあったのだろうか，と憶測したくなるほどの書かれようです． オンラインリテールは経済的効果が高い，と分析する論文なので， 無料宣伝になるから，普通は協力しそうなものです． それはともかく， 順位降下のアルゴリズムは自分で見つけるしかありません．

現象：　ランキングの時間発展

数週間から数ヶ月に1冊しか売れないような本を1冊選んで Amazon.co.jpでそのランキングを 1年間しつこく観察し続けると，次図のような， 思いの外ワイルドな動きが見られます．

注意： 　図は実際の観測を背景にして作りましたが，あくまで単純化した模式図です． しかし，数字は（おおざっぱですが）誇張はありません．

観測可能なのは1時間に1点ずつですが，1年分なので つながった線に見えます．縦軸は， 上のほうがランキング数値大（順位は下位）です． 最初に例に挙げた37万何千位はこの図の中ほどやや上になります．

問題は「ランキングをどう定義したらこの曲線のようになるか？」です．

• ご面倒でなければ，Amazonランキングの数学モデルstochastic ranking processの 定義の背景や簡単な説明を別ページに置きましたので， のぞいてみてください．
  
  
• 下手な日本語より数式（確率論）のほうがわかりやすいかたには stochastic ranking processの 数学的定義と主定理のページをご覧ください．
• 下手な日本語より数式（偏微分方程式）のほうがわかりやすいかたには stochastic ranking processの無限粒子極限を記述する 極限を記述する偏微分方程式系の時間大局解の存在定理 のページをご覧ください．
  
  
• さらに興味がわきましたら， このページ下方に貼ってある解説記事（講演予稿等）や原著論文（プレプリント） をぜひご覧ください．
  
  確率論のプロのかたに「これ，非対称マルコフ過程ですね」， 微分方程式のプロのかたに 「こんなところにこの偏微分方程式が出てくるとは思わなかった」， あらゆる分野のかたに 「数学的基礎から社会的応用まで目を配っている」， と言っていただけると嬉しいです．
• 本書内容以降の研究は数学的な意味の技術的な内容になります． 別ページに簡単な紹介を置きます： 『…流れが定める強度…を発見し，…「流れの空間」上の縮小写像の原理を用い… Gronwall型の議論…』

統計学的解析：　Amazon.co.jpはロングテールではない！

上で紹介した， ウェブ時代のロングテール型商売の草分けとして知られるアマゾン書店の日本版 であるAmazon.co.jpのランキングという現実のインターネット商売の話と， 確率的ランキング過程という数学的モデルの話を具体的に結びつけます． モデルの解析結果と実際のランキングのデータをつきあわせると， 驚くことに，こんな簡単な数学模型が現実のデータとけっこう良く合います． しかも，合っているということから，数学的内容を通して， ある経済学的・社会学的現実が見えてきます．

下図の黒丸は Amazon.co.jp で某書籍のランキングの時間変化を 実測して得たデータ，77個の値です．横軸は時間，縦軸はランキングの数値． 重ねて実線で描いてある曲線は確率的ランキング過程の理論的結果． 両者が似通っている，というところが重要です． 社会現象のような複雑な対象が，単純な数学モデルのあらわな数式の予想と 似通うことはなかなか期待できません．物理現象のような「数式向き」の 現象でさえ，現実に実験すると（雑音と一括して呼ばれる）大きな影響が 加わって合わないのが普通です．高くつく実験装置の話題が新聞に出る こともありますが，実験条件を整え，理論式を複雑にして，やっと合うのが 普通です．対象についてのもっとも単純な数学モデルで ここまで合うのは研究としてはたいへん良い兆候です．

上図の技術的詳細と統計的当てはめに関する説明は， 別ページを参照してください．

ロングテールの総売上への寄与を決める指数の値は，やや専門的なので， 上記リンク先のページに譲ります． この統計的当てはめでは，Amazon書店の和書の実質的な総冊数も算出 しています．Amazon書店の検索機能からは250万部ほどの和書を カタログとして持っていることになっていますが， 実際には下位の書籍は注文しても待たされたあげく入手不可能という返事を もらうことになります．これに対して，ランキングデータの数学に基づく 理論式への当てはめでは，実際に「生きている」冊数が統計的に推測できます． 結果は，2007年頃は約80万点，2008年は約90万点，2009年は約95万点です． （今のところ毎年の新規刊行分をそのままカタログとして追加していることが 伺えます．）

これに対して，2010年12月23日に開店した MARUZEN＆ジュンク堂書店梅田店 は在庫200万冊を謳っています．ベストセラーは重複して持っているだろう ことを割り引いても，手持ちのタイトル数はAmazon書店に匹敵する（もしかしたら 勝っている）可能性があります．「電子書棚」とでも言うべき，本を置く スペースの土地代等を浮かせることでコストを削減し，それによってロングテール の多数の本を売ることができるとされたネット書店でしたが， もしMARUZEN＆ジュンク堂書店梅田店が商売として生き残るならば， 実在書店あなどるべからず．

プロの物理学者，数学者，数理物理学者あてのコメント　−　Amazon.co.jpランキングの統計力学的普遍性(universality)

「1位に飛ぶなんて単純なアルゴリズムを採っているはずが無い」という 懐疑の声が初期の講演会場や論文のレフェリーで毎度のように聞かれました． しかし，下図１年に及ぶ長いデータ（手で採ったものの累積）をお見せすれば， さすがに文句はないでしょう（点が実測値，曲線は上記の統計的当てはめによる パラメータを用いた理論曲線）．

たしかに，数ヶ月に1度しか売れない本が本当のランキング1位の表示を勝ち取る ことはありません．1万位前後が精一杯です． でも，統計力学をご存じのかたならば，上図で縦軸がN=100万のオーダーなので， 先ずは1万位を1位と近似するのが現象の正しい理解のしかただ， ということに異論はないはずです．

ここを納得してくださったかたからは，次に， 「買うたびに（近似的に）1位に飛ぶとしても，途中の順位変動はAmazonがもっと 細かい計算をしているのではないか？」 という質問が出ます．これは正当な質問です． 残念ながら，Amazon.co.jpの更新は1時間に1回と，離散化されているので， 1万位より上位の順位変動の研究は絶望的に難しいです． 10位以内の本の様子を予備研究的にながめると， 細かい計算をしている可能性は高いと思います．

ところが， Amazonの実際の順位計算アルゴリズムにほぼ無関係に， 低順位側では上で紹介したいちばん単純なモデルと一致する という統計力学における普遍性(universality)が成り立ちます． このことを説明するのに，まず，Amazonの順位が累積売り上げ順ではありえない ことに注意してください．実際，そうだとすると聖書が1位，という冗談を 考えれば明らかです．「最近の売れ行き」で順位を決めたい， というのがAmazonの意図であるのは決まっています． 膨大な書籍点数に順位を付けるから無用に複雑なことはできません（計算が 間に合いません）．素直に考えれば，たとえば過去24時間の売り上げは重み1， その前の1日の売り上げは重み0.8，その前は0.64，といった重み付きの和を とって，その大小で順位を付けるでしょう．でも，１日に１冊も売れない， 10万位代以降の本にとってその順位は結局直近の売り上げ時刻が近い順に なります．

以上の思考実験から，上に述べた普遍性(universality)が成り立つことが わかります．

ところで，みなさん統計力学をやるときはO(N)の現象，すなわち，典型的な サンプル(configuration)に興味を持ちますが，なぜかランキングになると， 上位100位とかばかりを議論します． アマゾンランキングにおける熱力学極限とは （そう呼べるものがあるとすれば） 100万に比べて無視できない順位の現象，言い換えると，ほとんどの本の現象， もっとはっきり言えば，年に数冊しか売れない(long tailの)本のことです． 上記の，簡単なモデルで記述できる順位変化こそ，統計力学を知っている研究者が 最初に目を付けるべき性質であるべきで， ここで紹介している研究は，そういう意味で全く筋の通ったものであることを ぜひ納得していただきたく，よろしくお願いします．

そこのところを納得していただいた上で，あくまでお遊びで， 上記の統計学的解析を，上位のランキングに無茶を承知で外挿した結果 をこっそりお教えします．当たるも八卦，当たらぬも八卦． 安定的に10位をキープしている本は数秒(5秒以内とか)に1冊， 100位なら約1分に1冊，1000位なら20分に1冊， くらい売れているという数字を得ました． 当然，数点のところでは統計学的解析は無効ですから， トップスリーの売れ行きを，１時間毎にしか更新しない，相対評価の数値 （ランキング）から知ることは原理的に不可能です．

先行研究：　Move-to-front規則，LRU (Least-recently-used)キャッシング

ここで，関連する先行研究について言及します． ここまで確率ランキング過程と呼んできた数学モデルは， 20世紀半ば過ぎには既に知られていました． 最初に文献に登場するのは1963年，
M.L.Tsetlin, Finite automata and models of simple forms of behaviour, Russian Math. Surv. 18(4) (1963) 1-27.
（ジャンプ時刻を無視して順位の変化のみに注目すれば有限マルコフ連鎖なので） 定常分布が存在しますが，その具体形があらわにわかります． Tsetlinは，本を机に積み上げる（そして必要になるたびに山の途中から見つけ出し， 使い終わったら山の一番上にポンッと返す）という書斎の使い方は， 『定常分布に達するから（よく使う本は山の上の方にいやすくて取り出しやすい 可能性が高いことに注意すると），整理された状態であり，机の上を片付けるなんて よけいなことはしないでほしい』という趣旨がにじむコメントをさりげなく論文に 付け加えています．

Testlinはある種のオートマトンの簡単な例として挙げたためか，10年くらい 気づかれなかったようです．その間，
J.McCabe, On serial files with relocatable records, Oper. Res. 13 (1965) 609-618,
W.J.Hendricks, The stationary distribution of an interesting Markov chains, J. Appl. Probab. 9 (1972) 231-233,
の２本の論文がどちらも先行研究に気づかず，同じモデルを引用無しで調べています．

Hendricks以降はモデルが広まったようで， 引用がさかのぼってなされるようになり， move-to-front（先頭に持ってくる）規則という名前も付き， 研究の流行期に入りました． 右図は，move-to-frontをキーワードにして検索した文献やその引用のうち 関係あるかもしれないと考えて手元に記録した文献の本数を出版年代別に 4年ごとに区分した度数分布です．個人的に集めたものなので， 数には深い意味は全くありませんが，1960年代の２本の論文の後， 1970年代に最初の小さな流行，そして1980年代に始まり2010年頃に終わるだろう 大きな流行があることが読み取れます． 一つのテーマの研究の盛衰の様子が見えておもしろいかもしれません．

私がこの研究を始めたとき， 思いついた数学モデルがたいへん単純なものだったので， 先行研究はあるはずだと思いましたが， 正しいキーワードがわからなかったため見つけられず， 最初のうち論文で引用し損ないました．後に，杉峰伸明さんから， 『（私の講演を聴いた）誰かが，move-to-front ruleというモデルだ，と言っていた』 と教えてくれて，あわてて検索して見出した論文の山が上の図，という次第． （どなたか知りませんが，直接講演でコメントしてくれればよかったのに…． 杉峰さん，その節はどうもありがとうございました．）

さいわい，我々の論文の根幹，

1. 無限粒子極限，
2. 極限分布を記述する非線形偏微分方程式（流体力学極限），
3. ウェブランキングのモデルとしての指摘，データの統計的当てはめと 経済学的帰結，

膨大な先行研究を調べてみると，最初の3論文が調べたこと，すなわち， 定常分布の存在とその具体形，および，コンピュータサイエンス（データ探索） への応用，を中心に発展してきたことがわかります．

Move-to-front規則において，粒子の列をデータの列（記憶装置に順に並んでいる 状況などをイメージ）と見て，先頭へのジャンプを，データが使用するために 呼び出されたと見ることで，least-recently-used (LRU)キャッシングという データ配列方式の研究に結びつけています． キャッシングとは早い（けど高い）記憶素子（キャッシュメモリ）を少し用意して， 頻繁に使うと期待されるデータは通常の記憶素子ではなく，キャッシュメモリに 置いておくことで，平均的なデータアクセス速度を速くする技術です． LRUキャッシングとは，『最近使ったデータが使われる可能性が高い』という 単純なアルゴリズムです．キャッシュメモリがいっぱいになった状態から， 次にキャッシュに入っていなかったデータを呼び出したとき，そのデータを キャッシュに置きますが，その代わりに追い出すデータとして， 『使われたのがいちばん遠い過去のデータ(least-recently-used)』 を選びます． 使った順に先頭に持ってきて一列に並べることになるので， move-to-front規則と同値になります． 全体の中の一定の割合がキャッシュに残るので， 見つかったデータが全体の中でどの位置にいるかで， 呼び出すのに要する時間（探索コスト）が決まることになり， それをmove-to-front規則から算出する，というのがこれらの流行した先行研究の 基本的なアイデアです．

データサイズが大きい場合に興味を持つのは自然なので， そのような研究も試みられていましたが， 極限が偏微分方程式で表される，という流体力学極限の考え方に 至った先行研究はありませんでした． また，ウェブのランキングもウェブが安価な宣伝手段として広まったのが 21世紀近くになってから，ということもあったのか， 我々が応用するまで研究が無かったようです．

我々は，標準的研究も知らず，流行も追いかけなかった（誰も興味を持たない 「ロングテール」な研究だった）のが功を奏して(?)， オリジナルな（でも注目してもらえない(??)）研究として生き残りました．

確認：　アンドロイドは電気羊の夢を見るか？

定義ないしは動画をごらんになればわかるとおり， このモデルの各粒子（Amazon で言えば，本）は 順位が降下しつつランダムに1位にジャンプします． 上のほうの模式図でもそうなっています． ランキングの数値が本来持っていると期待する役割，つまり， 本の人気（＝本屋への貢献度）を測ることになるのか疑問があるかもしれません．

大丈夫です． よく売れる本はたとえ順位が落ちかけてもすぐ売れるので， 常に1位に近いところに順位が張り付きます． どの程度まで順位が落ちるかは売れ行き（1位へのジャンプの頻度）が 反映することは明らかです． ですから，平均的な順位がその本の人気を測る数値になります． 堅苦しく言えば， よく売れる本は観察時間の間に売れる部数が多いので， 部数に関する大数の法則が使える，ということです．

逆に売れにくい本の場合は， 観察時間に比べて平均購入時間間隔（販売頻度の逆数）が長いので， そもそも運が悪ければ観察時間の間に売れません． どこかの誰かが買うという行動はランダムなので 運不運に影響されるから， あまり売れない本，つまり，ロングテールに属する個々の本（タイトル），は 人気度が通常の観察時間ではわからない，という意味で， その指標が揺らぐ（大きく変化する）のは自然です．

こうして，stochastic ranking processの視点から ランキングの役割を見直すと， stochastic ranking processは現実のランキングのモデルとして 正しく機能することがわかります．

ところで，このページを最初に作ってまもなく， NHK総合のテレビ番組クローズアップ現代の 2008年6月4日放送分(No.2592)「ランキング依存が止まらない〜出版不況の裏側〜」 で，本屋のランキングの話がありました． インターネットではなく実際の本屋の話ですが， 売り上げランキングの１位の本を選ぶ人が多くなり， ランキングによって，売れる本への一極集中が進んだという話です． ロングテールの可能性についてAndersonが言うことと真逆の方向にランキングが 作用しているという話です．

近いうちにこの現象が，確率ランキング模型でどう現れるかという数学的な問題 を研究して，精密かつ定量的な結果を得たいな，と思っています． （現実に役立つかどうかはともかく，数学的には少し高級になるので， まずは知的興味として．）誰か共同研究したい人います？

2013年2月追記：楠岡誠一郎さんが共同研究してくれました．
T. Hattori, S. Kusuoka, Stochastic ranking process with space-time dependent intensities, ALEA, Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 9(2) (2012) 571-607 (リンクは200KB pdf file)
個々の書籍の注文の強度（平均的なジャンプ率）が，時刻だけでなく位置（順位）に も依存する場合（書籍毎に依存性が異なる関数でも差し支えない，という， 応用上は巨大な一般論）の極限定理です． 数学理論としては，この枠組みがあれば，高順位への注目による一極集中の可能性も 議論できるようになります． 現実の参考になる応用上の結論が出るかどうかは今後の課題です（ランキングが 数学的に興味深いロングテール領域とは逆の，世知辛い現実が絡む先頭付近の問題 なので，現実にランキングからおもしろい結論が出るかどうかは難しそうです）が， 数学的には戦闘準備のための手堅い橋頭堡を一つ確保した意義があります．

1. 「 位置依存確率順位付け模型 」，
   岡山確率論セミナー スライド 約500KB 46シート pdf，2016.04.28 岡山大学理学部)
2. 「 独立確率過程の大数の強法則と流れが定める確率順位付け模型 」，
   OR学会 待ち行列研究部会例会 スライド 約500KB 29シート pdf，2015.11.21 東京工業大学大岡山キャンパス) 　　　　　 OR学会 待ち行列研究部会例会
3. 「 流行度の順位付け 」，
   OR学会 待ち行列研究部会例会 スライド 約900KB 39シート pdf，2012.11.17 東京工業大学大岡山キャンパス) 　　　　　 OR学会 待ち行列研究部会例会
4. 「 確率的順位付け 」，
   語ろう数理解析 スライド (約750KB 36シート pdf，2010.11.20 芝浦工業大学 工学研究科) 　　　　　 語ろう数理解析
5. 「 確率ランキング模型 --- A hydrodynamic limit of move-to-front rules and its application to web rankings 」，
   待兼山コロキウム スライド (約900KB 35シート pdf，2010.07.15 大阪大学 サイバーメディアセンター 菊池誠研究室) 　　　　　 待兼山コロキウム
   
   
6. 「 Amazon.co.jpのランキングのモデルとロングテールの分析 」，
   研究集会「紀要の電子化と周辺の話題」スライド (約300KB 32シート pdf，2008.0902 京都大学数理研)
7. 「 Stochastic ranking processの無限粒子極限とAmazon.co.jpのランキング 」，
   研究会「数理ファイナンスとその周辺」予稿 (2ページpdf，2008.01 東京大学数理科学研究科)
   
   
8. 「 Amazon.co.jpのランキングを記述する偏微分方程式 」，
   日本数学会2008年度年会 応用数学分科会講演アブストラクトpp.162-165 (4ページpdf，2008.03)
9. 「 Stochastic ranking processの流体力学極限と2ch.net 」，
   確率論シンポジウム予稿（2ページpdf，2007.12)

• T. Hattori, Cancellation of fluctuation in stochastic ranking process with space-time dependent intensities, Tohoku Mathematical Journal 71(3) (2019) 359-396.

  270KB pdf file

• T. Hattori, Doubly uniform complete law of large numbers for independent point processes, Journal of Mathematical Sciences the University of Tokyo 25 (2018) 171-192.

  180KB pdf file

• T. Hattori, Open problems to an infinite system of quasi-linear partial differential equations with non-local terms, Symposium on Probability Theory, Kyoto, 2014/12, RIMS Kokyuroku 1952 (2015) 9-16.

  120KB pdf file

• T. Hattori, Point process with last-arrival-time dependent intensity and 1-dimensional incompressible fluid system with evaporation, Funkcialaj Ekvacioj 60 (2017) 171-212.

  240KB pdf file

• T. Hattori, S. Kusuoka, Stochastic ranking process with space-time dependent intensities, Latin American Journal of Probability and Mathematical Statistics 9(2) (2012) 571-607.

  200KB pdf file

• Y. Hariya, K. Hattori, T. Hattori, Y. Nagahata, Y. Takeshima, T. Kobayashi, Stochastic ranking process with time dependent intensities, Tohoku Mathematical Journal 63-1 (2011) 77-111.

  270KB pdf file

• T. Hattori, Stochastic ranking process and web ranking numbers, in Mathematical Quantum Field Theory and Renormalization Theory, T.Hara, T.Matsui, F.Hiroshima, eds., Kyushu University Math-for-Industry Lecture Note Series 30 (2011) 178-191.

  480KB pdf file

• K. Hattori, T. Hattori, Sales ranks, Burgers-like equations, and least-recently-used caching, RIMS Kokyuroku Bessatsu B21 (2010) 149-162.

  160KB pdf file

• K. Hattori, T. Hattori, Hydrodynamic limit of move-to-front rules and search cost probabilities, (2009) preprint.

  180KB pdf file	arXiv:0908.3222

• K. Hattori, T. Hattori, Mathematical analysis of long tail economy using stochastic ranking processes, (2008) preprint.

  210KB pdf file	arXiv:0804.1837

• K. Hattori, T. Hattori, Equation of motion for incompressible mixed fluid driven by evaporation and its application to online rankings, Funkcialaj Ekvacioj 52 (2009) 301-319.

  170KB pdf file

• K. Hattori, T. Hattori, Existence of an infinite particle limit of stochastic ranking process, Stochastic Processes and their Applications 119 (2009) 966-979.

  150KB pdf file