がしゃぽん問題（問題編）

あるＭＬに次のような問題が載りました．
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☆おもちゃ屋さんとかデパートには「がしゃぽん」と云って、硬貨を入れてハ
ンドルをグルグルまわして、カプセルに入ったおもちゃを得るゲーム機があり
ます。
　セーラームーンのセーラースウィングと云うがしゃぽん（一回２００円）
で、７種類の戦士が入っているのがあります。ファンは当然全種類を集めるの
ですが、さて、がしゃぽんの中身が良く混ざっていて、それぞれの戦士が出る
確率が同じだとすると、７戦士を全部集めるために、遊ぶ回数の期待値は何回
になるでしょう？

☆さらに、、、。ファンはそれぞれの戦士を遊ぶ用と保存用の２個ずつ集める
事が多いです。７戦士を２個ずつ集めるとすると、遊ぶ期待値は何回になりま
すか？
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( Subject: エレガントな解答を求む
( Date: Sat, 26 Oct 1996 23:16:00 +0900
( From: 高橋　健


一般的な問題は，
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         M 種類の戦士をそれぞれ N 個ずつ集めるのに要する   
         ゲームの回数の期待値 E_{N,M} はいくつか？         
                                                           
      *****************************************************
です．但し，
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一回のゲームで，ある種類の戦士を得る確率はどの種類も等しく 1/M とし，
各ゲームは独立（ゲーム機には非常に多くの戦士が入っているので，一つとっても，
次のゲームでやはり，戦士を得る確率はどの種類も等しく 1/M）とします．
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(19990705追記)
その後別のＭＬで筋肉番付の問題が登場し，
さらに，がしゃぽん問題と同値であるとの指摘が載りました．
(19990712追記)
さらに同じＭＬに，別のＭＬでは「広末カード問題」と呼ばれているとの
情報が寄せられました．
（こうなってくると，web 時代に検索でどうやって調べるのか心配だ．）
解（解答編のページの ak/ M!）の名前についての問い合わせが
ついています．ご存じの方はお知らせ下さい．

以下がＭＬの記録です．



Date: Sun, 4 Jul 1999 01:12:28 +0900
Subject: [suuri: 1151] 筋肉番付
以前、筋肉番付という番組を見ていると、１から９の番号の書かれたボードに１２個
のボールを投げ、すべてのボードに当てることができたら１００万円というゲームが
ありました。

そこでもし、必ず９つのボードに当てることができ、ボードの番号に当てる確率はす
べて同じであったとしましょう。そのとき、すべてのボードの当てるには、一般にい
くつのボールが必要なのでしょうか。


Date: Sun, 04 Jul 1999 08:47:49 +0900
Subject: [suuri: 1152] Re: 筋肉番付
久しぶりに。。。懐かしい問題を見ました。
小山さんの下記問題、「がしゃぽん問題」として一部では超有名！？な問題です。
 http://math.nagoya-u.ac.jp/~hattori/gashaq.htm
で、上記URLには、厳密解もあります。


Date: Mon, 12 Jul 1999 17:30:38 +0900
Subject: [suuri: 1174] Re: 筋肉番付
実は同じ問題が別のメーリングリストでも話題になりまして、
そのときは確か「広末カード問題」ということになっていました。(^^;
同じことがいろいろなところで問題になるということですね。

　＜中略＞

ところで、質問です。組合せ論の本を読むと
上の(N=1の場合の） a(k)を M! で割った数を第2種スターリング数と呼ぶようです。
一般のN に対する a(k)/M! には何か特別の名前はついていないのでしょうか？
組合せ論的な（一つの）意味付けとしては
位数 kの集合から位数 Mの集合への全射写像の数が第2種スターリング数です。
一般のNに対する a(k)/M! は
位数 kの集合から位数 Mの集合へのN重全射写像（どの値も最低 N回とる写像）の
数と解釈できて、スターリング数の自然な一般化であるように思うのですが、
何か名前はついていないのでしょうか？どなたかご存知でしたらお教えください。