1変数に近い特別な状況　−　臨界点が x軸上にある場合．

W(x,y) が y について1次の項を含まないとき， ある一つの正数 x に対して x軸上の点 (x,0) が w の臨界点になるので， このとき問題1は D - {(x,0)|x>0} に w の臨界点がないための十分条件を求めることになります．

このとき 0<z<=1, x>0 に対して z (W_x²/W_y)(x,x²z) > 1 が 成り立てば， y/x² は D-{(x,0)|x>0} に おいて， grad W が定義する 力学系 (X_n,Y_n) のリャプノフ関数になります．即ち， (X_n,Y_n) が D-{(x,0)|x>0} に あるとき， Y_n+1/X_n+1² <Y_n/X_n², が成り立ちます． 従って特に，w の臨界点がないための十分条件になります．

以上に基づいて次の問題を考えます．

問題2．

F(x,y)=(y/x²) (W_x²/W_y)(x,y) と おく． 問題1の設定に加えて W(x,y) が y について1次の項を含まないとき， 0<y<=x², x>0 に対して F(x,y) > 1 が 成り立つための，「良い」十分条件を求めよ．

W の y への依存が単項式のときは問題2は次の意味で 解決しました．

命題 (19981226)．

問題2において W の y への依存が単項式のときを考える，即ち， W が問題1の設定を満たし， かつ，正係数1変数多項式 f と定数 b>0, k>=0, k'>=2 を用いて W(x,y)=f(x) + b x^k y^k' と書けるとする． f の項のうち最低次数を L，最高次数を H とおく．

このとき，次のいずれかが成り立てば F(x,y) の D における最小値は D の境界（無限遠を含む）でとる．

1. k=0 または k'=2,
2. L >= 4 beta/(k'+2) または H <= 4 beta/(k'+2) (ここで beta=k'+(k/2) とおいた),
3. 以上以外の場合で， x f''(x)/f'(x) = 4 beta/(k'+2)-1 の（唯一の）正根を x=x₀ と するとき，f'(x₀) x₀^{1-2 beta} >= b k (k'+2)/(k'-2).

注．

1. 命題 (19981226) の十分条件は，2次元領域 D の内部で2変数関数 W の 詳細な性質を調べる必要がないことに注意して下さい． 即ち調べるべきことはいずれも高々1変数関数の問題に帰着しています． そして D の境界において F(x,y) > 1 ならば y/x² は リャプノフ関数になって， D の内部では grad W の固定点 (w の臨界点) がないことを保証します． この意味で w の臨界点の D における唯一性の 「容易に検証可能な」十分条件になっています．
2. 問題1の設定の下では F(x,x²) > 1 なので， D の境界のうち y=x² のところでは自動的に望むべき性質が 成り立っています．
3. 命題 (19981226) で陽にリストされている条件は 問題の量が D の内部で最小にならないことを保証するだけなので， D の境界におけるチェックが必要です． 特に「x の大きいところ」を調べる必要があります． （W の最高次付近を調べればいいので，検証可能性は保たれています．）
   例えば， W(x,y)=x³/3 + 4 x² y³ /3 は命題 (19981226)の仮定のうち H <= 4 beta/(k'+2) を満たしますが， D における w(x,y)=W(x,y)-(x²+y²)/2 の臨界点は， (1,0), (0.939352,0.283324), (0.734382,0.46355) の3つです （右図の黒丸．3つ目は図の中程の黒い部分の中にある極小値）． 実際，この例では， F(x,y) = (1+8y³/(3x))²/(4y) -> 1/(4y), x->無限, となるので，y > 1/4 のとき x の大きいところで左辺が 1 より 小さくなり，y/x² は D でリャプノフ関数ではないことが分かります．

W の y への依存が単項式でない場合は次のことしかわかっていません．

命題 (19981018)．

以下のいずれかの場合，問題1の設定の下で無条件（余分な条件なし）に 結論（D における w の臨界点の唯一性）が成立する：

1. W が 同次式のとき，
2. W が4次以下の項よりなる多項式のとき．

注．

1. 実際は W が 同次式のとき，問題1の設定の下では y を含む項は単項式になって，前掲の命題 (19981226)に含まれます． 例えば，3次同次式 　W(x,y;a,b,c,d) = ax³ + bx²y + cxy² + dy³　 の場合， 問題1の条件を満たすのは b=c=0, a,d>=0, かつ 3a²>d の場合ですが， このとき w(x,y)=W(x,y)-(x²+y²)/2 の 第一象限における臨界点は (0,0), (0,1/(3d)), (1/(3a),1/(3d)), (1/(3a),0) （右図の黒丸）となり， D にあるのは最後の一つだけとなります．
   
2. W が4次以下の場合は，問題1の条件下で y について1次の項は 許されません．従って単項式でない問題2の十分条件の例 （係数に自明でない任意パラメータを含む現在唯一の例）です．