W が y の1次の項を含む場合の w の臨界点の唯一性について 容易にわかるのは，W が y の2次までしか含まない場合です．
命題 (19990221)．
f, g, h を，それぞれ，3,2,1次以上の項からなる x の非負係数多項式で， g は恒等的に 0 ではないとし， W(x,y) = f(x) + g(x) y + h(x) y2 とする． このとき第１象限に w(x,y) = W(x,y)-(x2+y2)/2 の 臨界点(grad W の固定点)は多くても１つしかない．
注．
この命題の f,g,h に対する一見こまごました仮定は， 問題１の条件1 と， W が y の1次の項を含むという条件，の下では当然成り立ちます． つまり，W が y の2次までしか含まない場合は唯一性の問題は容易に完全に解決 しました．
Wがyについて2次の場合に簡単な理由は， Y=Wyがyについて1次なので， 臨界点方程式においてyの消去が容易で，しかも臨界点が存在するならば， yについて解いた式からそのy座標がxについて単調であることがただちに分かる からです．一般には問題1の設定の下でこのような単調性はありません．