解答例５の訂正　服部哲弥

特別の記述がない限り，以下の訂正で　「(yyyymmdd版)」　とあれば， yyyy年mm月dd日とそれ以前のバージョンに共通する訂正．

バージョンは印刷したときの１ページ目右上の「v」で始まる数字（日付）．

1. (20200515版) [41](2)脚注
   元の問題ではなく，私の脚注への指摘で， 元の問題（特に元の問題がなぜL²空間に言及しているかという謎） に対する位置づけは私にはわかっていないが， 第3分冊「収束定理（1）とFubiniの定理の問題」[42]](H7 都立大 8)(1)への 参照を含むなど，それ自体が有益な内容と思うので， そのまま解答集pdfの脚注に追加した． 具体的な内容は解答集pdfの当該問題の脚注をご覧いただきたい．
   (20200820 福島竜輝先生)
   
   
2. (20200325版) [51] (H3 北大 13)
   (2)で問題文のf_maxにn依存性を表す（添字等の）nが無かったので，nによらない共通の関数があるか，という変な問題と思い込んでいたが，各n毎にM_n=Φ_n(f)を解いてf=f_nを求めよという問題と理解すべきだった．
   解答例は解答集を参照．
   (20200515 Δ∇@nabla_delta さん)
   
   
3. (20191229版) [48](H9 山形大 9)
   (1) の数式行の最初と， (3) の1行目の文中数式と， (3) の複数行にわたる数式の2つ目の合計3箇所
   「＝」　→「≦」
   (20200325)
   
   
4. (20191025版) [11](H5 広島大 6A) (1)
   「非減少関数で 」　→　「非増加関数で 」
   (20191229)
   
   
5. (20191023版)
   [13]](S60 山形大 9)(3)後半，
   [14](H2 お茶大 1)後半，
   [15](H3 熊本大 1)(1)後半，
   [16](H7 岡山大 B1)(ii)→(iii)の証明，
   [17](H7 千葉大 8)(2)後半，
   [18](H6 広島大 6B)(1)後半，
   [20](H2 山形大 8)(3)前半
   【事実上まったく同一の問題が多数の大学・年度にわたって出題されたため訂正箇所が多数あるが，事実上同一の解答を付けたため訂正内容は同一である．】
   ・　「任意のε∈(0,1)に対して 」 　→　「任意のε∈(0,1/2)に対して 」
   ・　「0＜ε＜1で…ε≧1でも」 　→　「0＜ε＜1/2で…ε≧1/2でも」
   (20191025)
   
   
6. (20180322版) [04](H1 大阪市大 D1) (2)
   以前の解答例が間違っていたわけではないが， あまりに長かったので以下で差し替える．
   「
   最初の仮定で n=k2と置くことで Σk≧1 E[Xk22] ≦ Σk≧1 k-2 となって収束するから， 前小問と同様に 確率1で部分列Xk2は0に概収束する．
   一般の自然数nに対してk2≦n＜(k+1)2となる自然数kを取ると |Xn|≦ |Xk2| +|Xk2-Xn|において後の仮定から
   |Xk2-Xn| ≦ Σk2≦i≦n-1 |Xi+1-Xi| ≦ Σk2≦i≦(k+1)2-1 1/i ≦ (2k+1)/k2
   となるのでXnは0に概収束する．
   」
   (20191023)
   
   
7. (20080916版) [29](H9 千葉大 9) 補足
   

   用意した小問(2)の解答が(1)を用いていないことに 2018年3月12日のツイッターで質問を頂きました． (2)でヘルダー不等式を経由すれば(1)が使えるとのご指摘でした．

   たしかにヘルダーの不等式を用いれば(1)が(2)を証明する上で利用できますが， 用意した解答に比べて数学として優れた部分は見当たりません． （何かご存じの方がおいでならばご教示下さい！） 以下，用意した解答に不適切な点がないと仮定して想像を書きます．

   用意した解答のように単純な期待値の単調性と正値性で解ける問題に， 基礎不等式とは言え本来証明を要するヘルダーの不等式を使う発想に 疑問を感じて調べたところ，この問題は （院試出題当時はまだ数少なかった 和書の基礎教科書の代表である）西尾真喜子「確率論」（実教出版1978年） 四章§4一様可積分性の例2の証明をそのまま出題していることに気づきました． 小問(1)(2)(3)は同書の証明の手順です．

   西尾真喜子の同書は直前の§3でヘルダーの不等式を含む基礎不等式を証明して いるので，ヘルダー不等式の使用は他の不等式の使用と同等の手間なので， 同書ではヘルダー不等式経由はまったく自然ですが， 院試問題では背景と切り離されていて問題がすべてなので， 誘導するならば他の同程度以上にやさしい解を許すものが望ましく， 小問(1)を西尾真喜子の証明への誘導とするならば， 私が用意した初等解答を排除する意味では不自然な誘導です． 出題者は院試問題に期待されるほどの時間を割かなかったのかもしれません．
   (20180322)

   
   
   
8. (20080915版) [38](H2 東工大 13) 3行にわたる長い式変形の2行目右側の積分内
   「 lim_n→∞ x lim_n→∞ 」 　→　「 x lim_n→∞ 」
   (20080916)
   
   
9. (20080914版) [43](H5 筑波大 7)(2)(b) 小問解答3行目
   「 {(x,x)| 0≦ le 1} 」　→　「 {(x,x)| 0≦ x≦ 1} 」
   (20080915)