問題集３の訂正　服部哲弥

特別の記述がない限り，以下の訂正で　「(yyyymmdd版)」　とあれば， yyyy年mm月dd日とそれ以前のバージョンに共通する訂正．

バージョンは印刷したときの１ページ目右上の「v」で始まる数字（日付）．

1. (20080219版) [17](2)
   一見ルベーグ積分の問題に見えて，リーマン積分でもできる． （ルベーグ積分で解いても差し支えはないが．）
   (20080701 落合啓之先生)
   
   
2. (20050207版) [7](2)
   問題を次のように変更する．
   「lim_N→∞ S(N, x)=0」 　→　 「lim_N→∞ S(N², x)=0」
   (20080218 落合啓之先生)
   
   

   原文は lim_N→∞ S(N, x)=0 となっているが， これは小問(1)がヒントにならないという院試としての問題の他に， そもそも未解決問題ではないかという疑いを持っている．

   （以下，岩波数学辞典第４版が手元にある場合の説明．） 数学辞典第４版 202E（数の幾何と数論における近似／一様分布）の式(1)以降を 見ると，もし，原文どおりのことが証明できると， 辞典の記述において各 h=1,2,… に対して，小問(2)のa_n xを 辞典の ha_n になるようにとることで（たとえば辞典に例の 出ている a_n=(nθ) ならばx=θ，a_n=hn ととる）， 辞典の言葉で「ほとんど全てのθと 任意の速やかに増大する f(n): N→N に対して， a_n=(f(n)θ) となる場合」はWeylの規準を証明できたことになる． 辞典の記述に「指数オーダーの増大度を持つ関数に関しては多くは知られていない」 とある状況で，f(n)θという特別な場合で，かつ，θが全ての無理数になるか までは言えないとはいえ，このような事実が知られていれば 辞典に記述があるはずと思われる．よって原文どおりの事実は未解決と考えた次第．

   
   (20080219)