解析学１講義録訂正および補足　服部哲弥

1. 括弧内8桁の数字は日付 19970428=1997年4月28日
2. (nnnnnnnn版) とあるのは nnnnnnnn という日の時点での講義録のこと （講義録の日付は講義録最初のページの右肩の更新日一覧略号の最後の日付）
3. p.nn l.mm とあるのは nnページのmm行目の意味
4. p.nn l.mm--kk とあるのは nnページのmm行目からkk行目の意味
5. p.nn l.-mm とあるのは nnページの下からmm行目の意味

1. (19971221版) §17 L^p空間の完備性 系105 「limfn」 → 「lim_n→∞」
   
   
2. (19971221版) §17 L^p空間の完備性 p.72 命題102
   Schwarzの不等式の証明の部分は，その次の Hoelderの不等式に含まれてしまうので わざわざ別にやる必要がない(削除可)．
   (解説)

   教科書は節の最初にSchwarzの不等式を長々と証明して， 節末にあっさりHoelderの不等式を証明している． 後者は前者を含んでいるので，教科書のSchwarzの証明の部分 (補助定理1,2,3を含む)は無駄だと思う．

   例えば， 教科書の補助定理1は Schwarzの不等式の証明で (f,g) の有限性を保証するためだが， Holder の証明を適用すると各点で fg\le (f^2+g^2)/2 という 当たり前の式を使っている．右辺の積分が有限だから当然左辺も有限！

   
   
   
3. (19971221版) §17 L^p空間の完備性 p.72 l.-9
   最後の f は g の間違い．
   
   
4. (19971221版) §17 L^p空間の完備性 p.72 l.-7
   式が Schwarz の不等式になっている．正しくは
   |(f,g)| ≦ ||f||_p ||g||_q
   
   
5. (19971221版) §17 L^p空間の完備性 p.72 定義27 (iii)
   「となるとき，」→削除

   ---

6. (19970429版) §6.1.1空間の位相構造と独立な性質 p.31 l.6
   「証明は単調」というのは書き過ぎ．f-g が可測関数になることだけは 注意を要する． まず，{f-g>a} ＝ ({f>r} かつ {r>g+a}) の， r が有理数をわたる和，と書ける． 右辺に出てくる集合は f,g が可測関数だから可測集合で，和は可算和だから 右辺が可測集合になることで証明が完了する． （ r が実数をわたる和，と書いても等号は成り立つが，非可算和になるので 可測集合になることが証明できない．） あとの証明は単調．
   
   
7. (19970429版) §5.1.3可測関数 p.27 l.-5
   A の補集合が L の「要素である」という記号にすべきところ 「含まれる（部分集合）」という記号に間違っている．
   (19971208 高野泰洋君)
   
   
8. (19970429版) §6.2.1広義のLebesgue積分 p.32 補題46に対する注
   f_n は n について単調な単関数列なので，その積分は単調数列となり， 従って，正の無限大を許せば f_n の極限もその積分の極限も存在する． 補題の主張に lim の記号を使ってよいのはそのため．
   
   
9. (19970429版) §6.2.1広義のLebesgue積分 p.34 l.10
   「(i)で証明したことより」は 「-gの積分がgの積分の符号を変えたものに等しいことより」の間違い．
   
   
10. (19970429版) §6.2.1広義のLebesgue積分 p.34 l.1
    af の積分が f の積分の a倍に等しいのは， a が非負のときは講義録に書いてある通り． a<0 のときは (-f)⁺=f^- などと，+-が入れ替わるので， 別にやらないといけない．a=-1 だけやれば十分．このときさらに， (-f)^-=f⁺ なので， -f=(-f)⁺-(-f)⁺=f^--f⁺ の積分は たしかに f の積分の符号を変えたものになることが分かる．
    
    
11. (19970429版) §7.1単調収束定理 p.35 l.13
    「f は積分可能で」　は　「f は定積分を持ち」の誤り
    
    
12. (19970429版) §7.1単調収束定理 p.35 l.13
    「最初から，f, f_n は E の各点で有限値をとると仮定してよい」 　とあるが，f は無限かも知れない．しかし，あとの証明では f は無限大でも 構わない．従って上記語句中から f を削除．
    
    
13. (19960828版) §1.1.1σ加法族 p.5 l.-7
    「可算和」の記号と「含まれる」という記号の間に A_n が抜けている．
    (19970428 高野泰洋君)