第1章　硬貨投げとばらつき - 確率．

• 確率論の入門的事項（離散分布）
  • 全事象・事象・離散分布（非負整数の集合やその部分集合を全体集合Ωとする場合： 根元事象による定義）
  • 排反事象，確率[測度]（集合関数，非負値，加法性，全事象の測度1）
  • 離散分布の平均，分散，標準偏差
  • ベルヌーイ試行（n回の硬貨投げの確率空間）
  • 条件付き確率（高校で既習の範囲），ベイズの定理，事象の独立と従属 [章末練習問題補足]
• 確率測度（分布）の例
  • 単位分布δ
  • 2項分布：ベルヌーイ試行における「1（＝硬貨の表）」の個数の分布 （場合の数・2項係数・2項定理は高校１年で既習）
    • 2項分布の平均・分散の計算（2項係数とパラメータによる微分の計算技術）
    • 2項分布の局所中心極限定理，Stirlingの公式（導出は解析の科目に任せて結果のみ）
  • パスカル分布（負の2項分布） [章末練習問題補足]

注：本書は高校１年の教科書にある確率論を前提とする． たとえば確率Pが加法性と非負値性を持つ集合関数であることは最初から前提とする． しかし，現代確率論の知識は前提とせず，たとえば，確率空間(Ω,F,P)において， 確率Pの定義域Fの明示を省略して(Ω,P)とする．また， 実数上の分布を離散分布と（ルベーグ測度に関する）密度を持つ連続分布に わけて（かつ，ルベーグ測度に対して特異な連続分布は考えないで）話を進める． （13章の確率過程は当然無理があるが，ランダムウォークとの類推から入ることで， いくつかの基本数式になじめれば良いとする．4章の大数の強法則も， 独立な無限個の確率変数が定義可能な確率はあるかという大前提に答えられないが， あるとすれば，という定理として先に進む．実際にそのような確率あることは 測度論に基づいて知られているので，無駄にはならない．）

第2章　なぜ一列並びか - 確率変数の期待値と分散．

• 確率論の入門的事項（連続分布，確率変数）
  • 全事象・事象・連続分布（実数の集合，実数の区間， Rⁿなどを全体集合Ωとする場合：密度関数の積分による定義）
  • 連続分布の平均，分散，標準偏差
  • （実）確率変数X: Ω→R， 確率変数の（値の）分布Q=P º X^-1（Q(A)=P[X∈A]）
  • 離散値確率変数（確率変数の分布が離散分布の場合）と 連続型確率変数（確率変数の分布が連続分布の場合）
  • 確率変数の期待値E[X]=∫xQ(dx) （離散値確率変数と連続型確率変数にわけて定義）
  • 分散V[X]=E[(X-E[X])²]・標準偏差√V[X]
  • E[1]=1，期待値の線形性
  • V[1]=0，V[aX]=a²V[X]とその意味（並列並びと一列並び）
  • 母関数，モーメント [章末練習問題補足]
• 確率測度（分布）の例
  • 正規分布N(m,v)，標準正規分布N(0,1)，標準化のための積分変数変換 （z変換という用語は用いず）
    • 正規分布の平均と分散，ガウス積分（導出は解析の科目に任せて結果のみ）
  • 幾何分布（離散分布（非負整数上の分布）の例） [章末練習問題]
  • 一様分布（連続分布（有限区間上の分布）の例） [章末練習問題]
  • 指数分布（連続分布（非負実数上の分布）の例）と指数分布の無記憶性 [章末練習問題]
  • コーシー分布（平均のない連続分布の例） [章末練習問題]

第3章　存在しない未来の大きさ - 無作為抽出と独立確率変数列．

• 確率論からの準備
  • 多次元分布（Rⁿ上の分布），確率変数たちの結合分布，周辺分布
  • 共分散 C(X,Y)，相関係数 r(X,Y)
  • |r(X,Y)|≦1，シュワルツの不等式による証明（同不等式の導出は解析の科目に任せる
  • 確率変数の独立
    • 結合分布が周辺分布の積に等しいこと（定義）
    • 確率変数と連続関数の合成 f_i º X_i たちの 積の期待値が期待値の積に常に等しいことに同値 （証明はしない）
    • 結合分布が連続な密度関数を持つ場合， 結合分布の密度が周辺分布の密度の積に等しいことに同値
    • 独立ならば， X_i たちの積の期待値は期待値の積に等しい
    • 独立ならば， X_i たちの和の分散は分散の和に等しい
    • XとYが独立ならばr(X,Y)=0（逆は不成立）
  • 期待値の線形性の離散値確率変数の場合の証明
  • 和の分布の密度関数，たたみ込み
  • E[1_A]=P(A)， 分布関数
• 確率論と数理統計学の対応
  • 母集団（全事象Ω），全数調査とサンプル調査，無作為抽出
  • データ（独立同分布(i.i.d)確率変数列X_i, i=1,2,…n）， データの大きさ n，標本（見本，サンプル X_i(w)）
  • データの標本平均の期待値は母分布の母平均に等しく， 分散は母分散をデータの大きさで割った値に等しい
  • 母数（Ω上の確率測度の族{P_θ| θ∈Θ}のパラメータθ）
  • 母分布（データの分布） Q_θ=P_θ º X_i^-1， 母平均，母分散，正規母集団
  • データの標本平均 X^-=(X₁,…,X_n)/n
  • 母数の推定量 θ^_n(X₁,…,X_n)
  • 順序統計量（標本最大（小）値，中央値，四分位数，四分位範囲 [章末練習問題補足]
• 確率測度（分布）の例
  • パレート分布 [章末練習問題]
  • ガンマ分布（指数分布に従う独立確率変数の和の分布），ガンマ関数 [章末練習問題]

第4章　宮城県沖地震 2011年3月以前 - 母数と推定量．

• 確率論からの準備（続）
  • 確率変数の概収束，大数の強法則
  • 分布の弱収束・確率変数の法則収束，中心極限定理
  • 経験分布
  • 比較的簡単な場合の大数の強法則の証明 [章末補足]
  • 特性関数 [章末補足]
    • 正規分布の特性関数
    • 正規分布に従う独立確率変数の線形結合の特性関数
    • 中心極限定理の証明の概略
• 確率測度（分布）の例
  • 逆ガウス分布（＝ワルド分布＝BPT分布）
    • ドリフト付きブラウン運動 [13章]
  • 対数正規分布 [章末練習問題]
    • ブラック−ショールズモデル [13章]
• 数理統計学からの準備
  • 標本平均，不偏分散，点推定
  • 推定量（統計量，母集団特性値），一致推定量，不偏推定量，有効推定量 [10章も参照]

第5章　さいころの目は不公平か？ - 検定の考え方．

• 正規分布N(m,v)の主要性質のまとめ
  • 密度関数（指数部が2次式の指数関数）
  • 平均m，分散v
  • 密度関数が x=m に関して対称
  • XがN(m,v)に従うとき Z=(X-m)/√v はN(0,1)に従う
  • 正規分布に従う独立な確率変数たちの和は正規分布に従う
  • 無作為抽出データの標本平均の分布はデータサイズが大きいと正規分布に近い
  • 正規分布の数値例
• 統計的推測の基礎１（検定）
  • 統計的検定，帰無仮説，棄却，採択，有意水準，棄却域，p値
  • 第1種の過誤，第2種の過誤，2仮説検定，対立仮説，検定力 [章末補足][10章，11章も参照]

第6章　視聴率調査，何人分調べれば十分か？ - 区間推定の考え方．

• 統計的推測の基礎２（区間推定）
  • 母平均の区間推定と中心極限定理
  • 区間推定，信頼係数，危険率，信頼水準(CL)，信頼区間
  • 区間推定の例（ベルヌーイ試行＝視聴率，ポワッソン分布＝事故件数）
  • 歪度，尖度 [章末練習問題補足]

第7章　鶏が産む卵の重さはいくら？ - 正規母集団の統計的推測．

• 正規母集団のデータ（標準正規分布に従う独立同分布確率変数列）に由来する実数上の確率
  • カイ平方（χ²）分布（N(0,1)に従うiidの2乗の和の分布）
  • t分布（N(0,1)に従うXと独立なχ²に従うYに対してXと√Yの比の分布）
  • ベータ関数とガンマ関数
• 正規母集団の統計的推測（小標本理論）
  • 不偏分散とχ²分布
  • 標本平均と不偏分散の平方根の比とt分布
• 正規分布に従う独立同分布確率変数に関連するいくつかの証明 [章末補足]
  • χ²分布の密度関数の導出
  • t分布の密度関数の導出
  • 正規母集団のデータの標本平均と不偏分散が独立なこと

第8章　仙台は名古屋より涼しいか？ - F分布．

• 正規母集団のデータに由来する確率とその統計的推測（続き）
  • F分布（χ²分布に従う独立な確率変数の比の分布）
  • F分布の密度関数の導出
  • 独立な統計量に対する不偏分散の比とF分布
  • 分散比の検定，F検定，F検定の特別な場合としてのt検定，平均の差の検定
  • 度数分布，階級，分散分析 [章末補足]

第9章　健康診断結果の使い方 - 回帰分析．

• 回帰分析
  • 説明変数，被説明変数，母集団回帰係数，回帰式
  • 最小2乗法，（標本）回帰係数，（標本）回帰直線，予測値（回帰値）
  • 外挿，予測，偏り
  • 回帰変動，残差変動，全変動，決定係数，決定係数が標本相関係数の2乗に等しいこと
  • 回帰係数の検定
    • 回帰係数の偏差と残差変動の平方根の比がt分布に従うこと
    • 回帰係数の偏差と残差変動の平方根の比がt分布に従うことの証明 [章末補足]
    • 回帰直線が定数の帰無仮説の下で回帰変動と残差変動の比がF分布に従うこと
  • 重回帰分析，直交関数系の利用（ただし，直交関数系の言葉は導入しない）
  • 精密科学（自然法則）の決定係数の高さ

注：母数についての線形空間としての構造（直交関数系だけでなく， 因子分析vs主成分分析，判定・診断（クラスター分析）），および， 母分布の選び方（母数の個数の選び方など，たとえばＡＩＣ）は， 紙数がとても足りないので初等的小冊子では触れることができませんでした．

尤度とどちらを先にするかについては，一般論として尤度を用意しても， 対数尤度をとれば2次形式，すなわち線形空間の構造にただちに落ちるので， 線形代数既習の条件下で回帰分析を先にするのが教育的に思えます．

第10章　理論の香りを少し - 尤度．

• 最尤法（母数の推定量の選び方の一般論）
  • 尤度，対数尤度，尤度方程式
• 尤度比検定
  • 尤度比，対数尤度比，χ²検定，p値，棄却域
  • 尤度比のχ²検定の原理の証明概略 [章末補足]
• 分布の検定（適合度，独立性）
  • 経験分布，度数分布，階級，ヒストグラム，適合度
  • 多項分布，適合度のχ²検定、独立性の検定
• エントロピーと推定量
  • 不偏推定量，有効推定量（最良推定量）
  • フィッシャーの情報量，Cramer-Raoの定理
  • Cramer-Raoの定理の証明の概略 [章末補足]
  • 相対エントロピー（カルバックの情報量），ギブスの情報不等式
  • フィッシャー情報量がカルバック情報量の「微分」であること
  • 最尤推定量が強一致性を持つこと（ワルドの定理）
  • 回帰係数が最尤推定量で，不偏性，強一致性，最良性を持つこと， [章末補足]
  • 尤度，エントロピー，シャノンの情報量，統計力学のエントロピー [章末補足]

第11章　火星にネコの住む確率 - ベイズ統計学門前編．

• ベイズ統計学と尤度
  • ベイズの公式（定理），事前確率（先験的確率），事後確率，役に立つ前兆と役に立たない「前兆」
  • 事後確率と尤度の関係
  • MAP推定量（最大事後確率），一様事前分布の場合に最尤推定量に等しいこと
  • ベイズ解
  • 事前確率がベータ分布のときのベイズ解 [章末演習問題]
• 事前確率の位置づけと統計的決定理論
  • 新しい自由度としての事前確率（ベイズの公式）
  • 統計的（意志）決定理論
  • 意志決定（棄却域・危険率）の選択と事前確率の選択の（合理的意志決定の集合としての）同等性
    • ネイマン−ピアソンの定理
    • 分離定理 [章末補足]
    • ミニマックス定理 [章末補足]
    • ベイズ解と許容的解が同値であること [章末補足]
  • 非ベイズ統計学の意義に関するワルドとサベッジの見解の引用

株で損しない方法 - 数理ファイナンス門前編．

• 2項1期モデル
  • 原資産，金融派生商品（デリバティブ），ヨーロッパコールオプション，ポートフォリオ，複製
  • リスク中立確率
• 2項n期モデル
  • ポートフォリオの組み替え
• ブラック−ショールズの公式
  • 対数正規分布
  • ブラック−ショールズの公式
  • ブラック−ショールズの式が従う偏微分方程式 [章末練習問題]
• 期待利得（期待効用）とポートフォリオ [12章]

第13章　双六，株価，地震 - 確率過程論門前編．

• 1次元単純ランダムウォーク
  • 確率過程，確率連鎖，見本関数，時刻
  • 反射原理，
• 1次元ブラウン運動
  • hitting time
  • ランダムウォークの弱収束極限としてのブラウン運動，マクロ，ミクロ，流体力学極限（導入のみ）
  • 伊藤の公式，確率積分，確率微分方程式，カメロン−マルチンの公式（導入のみ）

第A章　 - 確率測度と確率連鎖．

• コルモゴロフの公理
  • 事象と可測集合，シグマ加法族，可測空間，測度と確率測度，
  • ドモルガンの法則
• 確率連鎖
  • 筒集合
  • 擬似乱数，一様乱数，シミュレーション
  • マルコフ性，状態空間，定常性，自己共分散（自己相関係数）
  • 予測，予測値のt検定
  • p次自己回帰モデル AR(p)， q次移動平均モデル AQ(q)， (p,q)次自己回帰移動平均モデル ARMA(p,q)，
  • ポワッソン過程